高三理数复习第1篇[第15讲导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间:45分钟分值:100分)基础热身x1.[20xx·韶关调研]函数y=xe的最小值是()1A.-1B.-eC.不存在e32下面是小编为大家整理的高三理数复习,供大家参考。
[第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式]
(时间:45分钟 分值:100分)
基础热身
x1.[20xx·韶关调研] 函数y=xe的最小值是()
1A.-1B.-eC.不存在 e
322.f(x)=x-3x+2在区间[-1,1]上的最大值是()
A.-2B.0C.2D.4
3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间
1332629关系可近似地用如下函数给出:y=-t-t+36t则在这段时间内,通过该路段用844
时最多的时刻是()
A.6时B.7时C.8时D.9时
4.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y13=-x+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()3
A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件
能力提升
5.一矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,盒子容积的最大值是()
3333A.12 cmB.15 cmC.18 cmD.16 cm
26.[20xx·湖南卷] 设直线x=t与函数f(x)=x,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()
152A.
37.[20xx·全国卷] 已知函数y=x-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()
A.-2或2B.-9或3
C.-1或1D.-3或1
8.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=23,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为()
A..2D.3
9.[20xx·辽宁卷] 若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是()
1112x2A.e≤1+x+-x+x 241+x
1212C.cosx≥1D.ln(1+x)≥x- 2810.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为
________.
ex+1ex
11.[20xx·厦门质检] 设函数f(x)=,g(x)=x,对任意x1,x2∈(0,+∞),xe
g(x1)f(x2)不等式k的取值范围是________.
kk+1
12.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P元,则销售
量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-则该商品零售价定为________时,毛利润L最大,最大毛利润是________(毛利润=销售收入-进货支出).
13.将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,(梯形的周长)记S=S的最小值是________.
梯形的面积
14.(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:C(x)=
k
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用3x+5
与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
15.(13分)[20xx·河北重点中学联考] 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x+ax-(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1<x2)且x2-x1>ln2,求实数a的取值范围.
难点突破
16.(12分)已知函数f(x)=lnx-(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
ax
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为a的值;
(3)试求实数a的取值范围,使得在区间(1,+∞)上,函数y=x的图象恒在函数f(x)的图象的上方.
课时作业(十五)
【基础热身】
x
1.C [解析] y′=(x+1)e,令y′=0,得x=-因为x<-1时y′<0;
x>-1时
y′>0,所以x=-1时,ymine
2.C [解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0可得x=0或2(舍去),当-1≤x<0时,f′(x)>0,当0 3.C [解析] y-+36=-(t+12)(t-8),令y′=0得t=-12(舍去) 828 或t=8,当6≤t<8时,y′>0,当8 4.C [解析] 因为y′=-x+81,所以当x>9时,y′<0; 函数y=-+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函 数的极大值点.又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值. 【能力提升】 5.C [解析] 设小正方形的边长为x cm,则盒子底面长为8-2x,宽为5-=(8 510322 -2x)(5-2x)x=4x-26x+40x0 23 (舍去),则V极大值=V(1)=18,且在定义域内仅有一个极大值,∴V最大值=.D [解析] 用转化的思想:直线x=t与函数f(x)=x,g(x)=lnx图象分别交于M,N,而|MN|的最小值,实际是函数F(t)=t2-lnt(t>0)时的最小值. 122 令F′(t)=2t-=0,得t=或t=-舍去). t2222 F(t)=t-lnt有最小值,即|MN|达到最小值,故选 7.A [解析] 由f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1)=0⇒x=±1,结合f(x)的图象可知只要f(-1)=0或f(1)=0即可,故解得c=-2或2,故选222 8.C [解析] 设底面边长为a,则高h=SA-a=12-2,所以体积V 22 故t=121 =h=33 164 12a- 设y=12a-a,则y′=48a-3a,当y取最值时,y′=48a-3a=0,解得a=0(舍 212 12-a= 9.C [解析] 验证A,当x=3时,e>=>1+3+3=13,故排除A; 当x=2 6111113391 5211 536166而1+==故排除B; ***3 1+ 验证C,令g(x)=cosx-1+x,g′(x)=-sinx+x,g″(x)=1-cosx,显然g″(x)>0 恒成立,所以当x∈[0,+∞)时,g′(x)≥g′(0)=0,所以x∈[0,+∞)时,g(x)=cosx-11212 +为增函数,所以g(x)≥g(0)=0恒成立,即cosx≥1-恒成立; 121xx(x-3) ln(1+x)-x+x,h′(x)=1h′(x)<0,解得0 8x+144(x+1) 0 [解析] 设底面边长为x,则高为h=∴Sx+2×x=22 4x3x3x+32,2 43V3 ∴S′=-23x,令S′=0,得x= 333 当0 .min x+2 e(1-x) 由g′(x)==0得x= x∈(0,1),g′(x)>0,x∈(1,+∞),g′(x)<0,g(x)=g(1)=e∴kkkmax ex-11 同理f′(x)=0⇒x=,2 xe 11x∈0,f′(x)<0,x∈,f′(x)>0,ee 1f f(x)=e2ee2e,k>0⇒k≥∴kk+1k+1mink+1k+1 12.30 23 000 [解析] 由题意知L(P)=P·Q-20Q=Q(P-20) =(8 300-170P-P)(P-20) =-P-150P+11 700P-166 000,∴L′(P)=-3P-300P+11 令L′(P)=0,得P=30或P=-130(舍). 因为在P=30附近的左侧L′(P)>0,右侧L′(P)<0,∴L(30)是极大值. 根据实际意义知,L(30)是最大值,此时L(30)=23 即零售价定为每件30元时,有最大毛利润为23 000元. 323 [解析] 设DE=x,由ED∥BC,△ABC为正三角形,AD=DE=AE=x,BD=EC -x),梯形的周长为BD+DE+EC+BC=3-x,梯形的面2 =1-过D作DF⊥BC,DF= 133(3-x)2 积为(x+1)×(1-x)=-x).S=(0< x<1). 22432 (1-x)4 24(2x-6)(1-x)-(34(2x-6)(1-3x)S,2222 (1-x)(1-x)331 令S′=0,解得x=3(舍去),31113230 14.解:(1)设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)=3x+5 再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=3x+5 而建造费用为C1(x)=所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 40800 f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=6x(0≤x≤10). 3x+53x+54002 400 (2)f′(x)=6-f′(x)=0,即(3x+5)(3x+5)25 解得x=5或x=-(舍去). 当0 800的最小值为f(5)=6×5+=+5 故当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值为70万元. 15.解:(1)由题意f′(x)=lnx+1=0,得x=.e 111①当0 11此时函数f(x)在[t,t+2]上的最小值为f.ee ②当t≥时,函数f(x)在[t,t+2]上单调递增,e 此时函数f(x)在[t,t+2]上的最小值为f(t)=(2)由题意y=f(x)+g(x)=xlnx-x+ax+2,则y′=lnx-2x+a+1,知y′=lnx-2x+a+1=0有两个不同的实根x1,x2,等价于a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x1,x2,等价于直线y=a与函数G(x)=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点. 111由G′(x)+2,知G(x)在0上单调递减,在上单调递增,x22 画出函数G(x)图象的大致形状如图,k 1由图易知,当a>G(x)min=G=ln2时,2 x1,x2存在,且x2-x1的值随a的增大而增大. 而当x2-x1=ln2时,lnx1-2x1+a+1=0,由题意得 lnx2-2x2+a+1= 两式相减可得ln2(x2-x1)=2ln2,得x2=4x1,4 代入x2-x1=ln2得x2=4x1,2ln2此时实数aln2-ln-1,33 2ln2所以实数a的取值范围为a>ln2-ln-3 【难点突破】 1ax+a 16.解:(1)f′(x)+22(x>0). x2x1 xxx 当a>0时,f′(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(2)由f′(x)=0得x=-①当a≥-1时,f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为增函数,33 f(x)min=f(1)=-a=a=-(舍). ②当a≤-e时,f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,f(x)在[1,e]上为减函数,a3e 则f(x)min=f(e)=1-=a(舍). e22 ③当-e0,f(x)在(x0,e)上为增函数. ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,得a=-e,2综上知,(3)由题意得x>lnx-在(1,+∞)上恒成立,即a>xlnx-x在(1,+∞)上恒成立. 设g(x)=xlnx-x(x>1),则g′(x)=lnx-3x+ 令h(x)=lnx-3x+1,则h′(x)=6x,32 ax x 当x>1时,h′(x)<0恒成立. ∴h(x)=g′(x)=lnx-3x+1在(1,+∞)上为减函数,则g′(x) 课时作业(十四) 第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例 [时间:35分钟分值:80分] lnx1.函数y=()x B.eC. 32.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为() A.36B.18C.25D. 423.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间 13629关系可近似地用如下函数给出:y3-t2+36t-.则在这段时间内,通过该路段用时844 最多的时刻是() A.6时B.7时C.8时D.9时 4.设正三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()1334VB. 能力提升 1-x15.已知函数f(x)=+lnx,则f(x)在2,2上的最大值和最小值之和是()x A.0B.1-ln2C.ln2-1D.1+ln2 322x+3x+1x≤0,6.[20xx·哈三中三模]函数f(x)=ax在[-2,2]上的最大值为2,则ex>0 a的取值范围是() ln2ln20 22 ln2 C.(-∞,0]2 7.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10 km时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,则使行驶每千米的费用总和最小时,此轮船的航行速度为() A.20 km/hB.25 km/h C.19 km/hD.km/h 基础热身 图K14- 18.[20xx·江苏四市联考]今有一块边长为a的正三角形的厚纸,从这块厚纸的三个角,按图K14-1那样切下三个全等的四边形后,做成一个无盖的盒子,要使这个盒子容积最大,x值应为() 2aaaA. 9.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的1关系式为:p=24 200-x2,且生产x t的成本为R=50 000+200x(元).则该厂每月生产 5________ t产品才能使利润达到最大.(利润=收入-成本) 10.[20xx·潮州模拟]在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为________时它的面积最大. 图K14-2 11.[20xx·宁化模拟]如图K14-2,用半径为R的圆铁皮,剪一个圆心角为a的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,则圆心角a取________时,漏斗的容积最大. 12.(13分)[20xx·无锡模拟]甲、乙两村合用一个变压器,如图K14-3所示,若两村用同型号线架设输电线路,问:变压器设在输电干线何处时,所需电线最短? 难点突破 13.(12分)[20xx·长沙模拟]广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产,按国际惯例以美元为结算货币,依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的金额为x万美元,可获得的加工费近似地为x+1)万美元,受美联储货币政策的影响,美元贬值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失mx万 美元(其中m为该时段美元的贬值指数,m∈(0,1)),从而实际所得的加工费为f(x)ln(2x+ 1)-mx(万美元). (1)若某时期美元贬值指数m=,为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加,该 200 企业加工产品订单的金额x应在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x万美元,已知该 企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额),试问美元的贬值指数m在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损. 课时作业(十四) 【基础热身】 lnx′x-lnx·x′1-lnx 1.A [解析] 令y=0,得x=e,当x>e时,y′<0; x x 3-,x∈[0,9],令f′(x)=6x-x2=0,得x=0或x=6,2.A [解析] 令f(x)=x2y=x23可以验证x=6时f(x)有最大值 3.C [解析] y′=-2-+36t+12)(t-8),令y′=0得t=-12(舍去)或t=8,828 当6≤t<8时,y′>0,当8 4V 4.C [解析] 设底面边长为x,则高为h= 3x2 4V4V∴S表=3×x+2×2=x2,2·4x23x 4V∴S′表=-3x,令S′表=0,得x= 经检验知,当x=4V时S表取得最小值. 【能力提升】 x-1 5.B [解析] 对f(x)求导得f′(x)=.x 1 (1)若x∈2,1,则f′(x)<0; 故x=1是函数f(x)在区间2,2上的唯一的极小值点,也就是最小值点,故f(x)min=f(1)=0; 11又f=1-ln2,f(2)=-ln2,22 1lne3-ln163所以f2-f(2)=-2ln2=,22 因为e3>=>16,1所以f2-f(2)>0,1即f2>f(2),112上最大值是f.即函数f(x)在区间2211,2上最大值是1-ln2,最小值是即f(x)在2上的最大综上知函数f(x)在区间22 值和最小值之和是1-.D [解析] 当x≤0时,f′(x)=6x2+6x,函数的极大值点是x=-1,极小值点是x=0,当x=-1时,f(x)=2,故只要在(0,2]上eax≤2即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即ln2ln2a≤(0,2]上恒成立,故a≤.x2 7.A [解析] 设船速度为x(x>0)时,燃料费用为Q元,则Q=kx3,由6=k×103可得33 k=,∴Q3,500500 331396696x+96x2+,∴总费用y=y′=x-令y′=0得x=20,当x∈(0,20)500x500x500x时,y′<0,此时函数单调递减,当x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增,∴当x=20时,y取得最小值,∴此轮船以20 km/h的速度行驶每千米的费用总和最小. a30 x,设容积为V,则 V=Sh=(a-2x)2x,23 2a =x3-ax2+x,a22 V′=3x-2ax+,4aaaaa 令V′=0得x=或x=舍去),当0 aaaa4aa∴xV最大=+6216362421654 9.200 [解析] 每月生产x吨时的利润为f(x)=24 200-2x-(50 000+200x)=-x3 +24 000x-50 000(x≥0). 由f′(x)=-x2+24 000=0得x1=200,x2=-200,舍去负值.f(x)在[0,+∞)内有唯 一的极大值点,也是最大值点. R [解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=RR-x,解2 得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=2Rh-h·h=2Rh-h,1从而S′=Rh3-h4)-Rh3-h4)′ h23R-2h113423 =(2Rh-h)-Rh-4h)= 222R-hh3 令S′=0,解得h=,由于不考虑不存在的情况,所以在区间(0,2R)上列表如下: 由此表可知,当x=时,等腰三角形面积最大. [解析] 解法一:设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么由r2+h2= R2,Ra=2πr,2R3121Ra2a24代入V=πrh,得V=π·2πR-2π=a-,3312π4π 65a3a 再令T(a)=a4T′(a)=4a3-T′(a)=π2π5 2633a即4a-=0,求得a=,2π3 222检验,当00; T(a)取得极大值,并且这个极大值就是最大值,且T(a)取得最大值时,V也就取得最大值,2所以当a=π时,漏斗的容积最大. 解法二:设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么r2+h2=R2,因此V(r)=r2h =πr2R-r=πr-r(0 再令T′(r)=0,即4R2r3-6r5=0,求得r=,可以检验当r=R时,T(r)取得最大值,33 66226 也就是当r=时,V(r)取得最大值.再把rR代入Ra=2πr得a=所以当a= 3333 π时,漏斗的容积最大. 12.[解答] 设CD=x(km),则CE=3-x(km). 由题意知所需输电线的长l为:l=AC+BC=1+x++3-x(0≤x≤3),-23-x2x l′=,1++3-x3-xx 令l′=0,得=0,1++3-x3-xx 即,1++3-x 3-x2x,1++3-x1.52x2+x2(3-x)2=(3-x)2+x2(3-x)2,1.52x2=(3-x)2,=3-x,2.5x=3,x=,故当CD=(km)时所需输电线最短. 【难点突破】 13.[解答](1)由已知m=,200 1x f(x)ln(2x+1)x>0,2200 199-2x11 ∴f′(x)==2x+120xx002x+1 由f′(x)>0,即199-2x>0,解得0 (2)依题设,企业加工生产不出现亏损,则当x∈[10,20]时,都有ln(2x+1)-mx≥x,220 ln2x+1111 由ln(2x+1)-mx≥x,得+m≤220xx2x ln2x+1 令g(x)=x∈[10,20],2x2x-ln2x+12x+1 则g′(x)= 2x2x-2x+1ln2x+1=.2x2x+1 令h(x)=2x-(2x+1)ln(2x+1),22ln2x+1+2x+1则h′(x)=2-2x+1=-2ln(2x+1)<0, 可知h(x)在[10,20]上单调递减. 从而h(20)≤h(x)≤h(10),又h(10)=20-21ln21<21(1-ln21)<故可知g(x)在[10,20]上单调递减,ln41ln411 因此g(x)min=m404020 ln41-2 故当美元的贬值指数m∈0时,该企业加工生产不会亏损. 40 20xx年中招专题---二次函数与最值问题 1.(20xx•四川绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标; (3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标; 2.(20xx•四川内江)如图,抛物线y=ax+bx+c经过A(﹣)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.(1)求抛物线的解析式; (2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值; (3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐标; (20xx•攀枝花)如图,抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y 2),顶点坐标为N(﹣1,),轴交于点C,点D的坐标为(﹣6,0),且∠ACD=90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值; (4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止.设直线m与折线DCA的交点为G,与x轴的交点为H(t,0).记△ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围. (20xx•襄阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒. (1)填空:点A坐标为 ; . (2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形? (3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少? (20xx•德州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式; (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标; (3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标. 6.(20xx•甘肃兰州)如图,抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标; (3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 7.(20xx•重庆)如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D抛物线的顶点. (1)求A、B、C的坐标; 交为2(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积; (3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG= 2DQ,求点F的坐标. (四川泸州)如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣(1)求二次函数的最大值; (2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程a的值; (3)若点F、G在图象C′上,长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四 =0的根,求2,0). 边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标. [第5讲 函数的单调性与最值] (时间:45分钟 分值:100分) 基础热身 1.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 1A.f(x)=x B.f(x)=(x-1) xC.f(x)=e D.f(x)=ln(x+1) 12.函数f(x)=1-在[3,4)上()2x A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最大值又有最小值 D.最大值和最小值皆不存在3.[20xx·天津卷] 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为() A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0 x-xe-eC.y=x∈R2 3D.y=x+1,x∈R 4.函数f(x)=x x+1________. 能力提升 5.[20xx·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则**{x|f(x)g(x)≥0}=() A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4} 6.[20xx·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),5则f-=()211A24 1x27.[20xx·哈尔滨师大附中期中] 函数y=2 1A.(-∞,1),1 2 11,1,+∞ 22 x的值域为() 8.[20xx·惠州二调] 已知函数f(x)=e-1,g(x)=-x+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为() A.(2-2,2+2)B.[22,22] C.[1,3]D.(1,3) xa(x<0),9.[20xx·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)=满足对任 (a-3)x+4a(x≥0) f(x1)-f(x2) 意的实数x1≠x2都有成立,则实数a的取值范围是() x1-x2 A.(3,+∞)B.(0,1)0D.(1,3)4 1110.若函数y=f(x)的值域是,3,则函数F(x)=f(x)+________. f(x)2 112 11.若在区间,2上,函数f(x)=x+px+q与g(x)=x+在同一点取得相同的最小 x2 值,则f(x)在该区间上的最大值是________. 12.函数y= x x+a (-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是________. 1+x 13.函数y=的单调递增区间是________. 1-x14.(10分)试讨论函数f(x)= 15.(13分)已知函数f(x)=a-|x| (1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. x x+1 难点突破 16.(12分)已知函数f(x)= x2 x-2 x∈R,且x≠2). (1)求f(x)的单调区间; (2)若函数g(x)=x-2ax与函数f(x)在x∈[0,1]上有相同的值域,求a的值. 课时作业(五) 【基础热身】 1.A [解析] 由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.而反比例函数f(x)=在x (0,+∞)上是减函数.故选.A [解析] 函数f(x)在[3,4)上是增函数,又函数定义域中含有3而没有4,所以该函数有最小值无最大值,故选.B [解析] 方法一:由偶函数的定义可排除C,D,又∵y=cos2x为偶函数,但在(1,2)内不单调递增,故选方法二:由偶函数定义知y=log2|x|为偶函数,以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增. [解析] 因为x≥0,当x=0时,y=0不是函数的最大值.当x>0时,f(x)=2x+1111=x+2,当且仅当x=1时等号成立,所以f(x)≤12xx+ x 【能力提升】 5.A [解析] 由题意,结合函数性质可得x>1时f(x)>0,x<1时f(x)<0; 5111 6.A [解析] 因为函数的周期为2,所以f=f2+=f2222 155∴f-=-f=-22 11111t1011t2 7.C [解析] 因为x+1≥1,所以0<21,令t=2,则≤<,≤<1,x+1x+122222 所以≤y<故选 8.A [解析] 由题可知f(x)=e-1>-1,g(x)=-x+4x-3=-(x-2)+1≤1,若 有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],即-b+4b-3>-1,解得22 9.C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数,所以x<0时,f1(x)=a为减函 数,则a∈(0,1); 得a≤综上知0 110112,[解析] 令f(x)=t,t∈3,问题转化为求y=t+t∈,3的值 3t22 域. 1110因为y=t+在1上递减,在[1,3]上递增,所以y∈2,.3t2 x·2,当x=1时等号成立,所以x=1时,g(x) xx p4q-p的最小值为2,则f(x)在x=1时取最小值2,所以-解得p=-2,q=.3 [解析] g(x)=x+≥2 12 所以f(x)=x-2x+3,所以f(x)在区间2上的最大值为2 12.a≥2 [解析] y= x x+a 1- a x+a (-2,+∞)上为增函数,所以a>0,所以得函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使y=增函数,只需-2≥-a,即a≥ x+a 在(-2,+∞)上为 1+x 13.(-1,1)[解析] 由得函数的定义域为(-1,1),原函数的递增区间即为 1-x 1+x1+x2 函数u(x)=在(-1,1)上的递增区间,由于u′(x)=′=2故函数u(x) 1-x1-x(1-x) 1+x=的递增区间为(-1,1),即为原函数的递增区间. 1-x 14.解:f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1<x2,x1x2(x1-x2)(1-x1x2) 有f(x1)-f(x2)2-2=,2 x1+1x2+1(x21+1)(x2+1)22 其中x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>①当x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,所以|x1x2|<1,则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以f(x)为增函数. ②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),所以f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在(-1,1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 15.解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a x 设0 ∴f(x1)-f(x2)=a-a=-< (2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,x1x2x2x1x1x2 ∴f(x1) x 设h(x)=2x+,则a x 可证h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以a≤h(1),即a≤所以a的取值范围为(-∞,3]. 【难点突破】 x2[(x-2)+2]4 16.解:(1)f(x)==(x-2)+4,x-2x-2x-2 令x-2=t,由于y=t+4在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增,t 在(-2,0),(0,2)内单调递减,∴容易求得f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4,+∞); (2)∵f(x)在x∈[0,1]上单调递减,∴其值域为[-1,0],即x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0]. ∵g(0)=0为最大值,∴最小值只能为g(1)或g(a),a≥1,若g(1)=-1,则⇒a=1; 1-2a=-11≤a≤1,若g(a)=-1,则2⇒a=-a2=-1 综上得a= 不等式证明与最值问题 (一)均值不等式的运用(1) 均值不等式的运用:a² + b²≥ 2ab; 注意:利用均值不等式,注意“一正二定三相等”; (1)注意“1”的代换:已知x>0,y>0,满足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解:x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36 注意:千万不可:1=4/x+16/y≥16/√(xy),√(xy)≥16,故:x+y≥2√(xy)=32 归纳: 解:因为(a/x)+(b/y)= 1故:x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)练习: 1、已知x,y>0,1/x+2/y=1,求x+y的最小值。(答案:3+2√2) 2、已知x,y>0,1/x+9/y=1,求x+y的最小值。(答案:16) (2) 1、已知a>0,b>0,求证:(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥8 解:(1/a+1/b)(1/a²+1/b²)(a³+b³)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a²b²)]·2√(a³b³)=82、已知a+b+c=1,a,b,c为不全相等的实数,求证:a²+b²+c²>1/3 解:a²+b²≥2ab, a²+ c²≥2ac, b²+c²≥2bc 因为a,b,c为不全相等的实数,故:上面三式不能同时取等号。故:2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ac 故:3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²= 1故:a²+b²+c²>1/ 3练习: 1、已知x>0,y>0,3x+2y=12,求lgx+lgy的最大值。(答案:lg6) 2、若x,y>0,且2x²+y²/3=8,求x√(6+2y²)的最大值.[答案:9√3/2,提示:先把x√(6+2y²)平方] (3)a>0,b>0,c>0,求证:(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解:(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a =a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a =(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6 (4)a>0,b>0,c>0,求证:bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c 解:bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c) =[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c (5)已知a>0,b>0,c>0,求证:a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 证明:a/√b+√b≥2√a; 故:a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c (6)已知x<0,求y=x+1/x的最大值 解:因为x<0,故:-x>o 故:(-x)+(-1/x)≥ 2故:y=x+1/x≤-2 (7) 1、已知a>b>0,求a+1/[(a-b)b]的最小值 解:a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3,此时a=2,b= 12、若0<x<1,求证:a²/x+b²/(1-x)≥(a-b)² 解:∵0<x<1,∴0<1-x< 1∴a²/x+b²/(1-x)=a²/x·[x+(1-x)]+b²/(1-x)[x+(1-x)] =a²+a²(1-x)/x+b²+b²x/(1-x)≥a²+b²+2ab=(a+b)² 当a²(1-x)/x=b²x/(1-x)时,取等号。 练习:当a>1时,4/(a-1)+a的最小值是()。(答案:5) (一)均值不等式的运用(2) 均值不等式的运用:a² + b²≥ 2ab; 附: (二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均) 注意:利用均值不等式,注意“一正二定三相等”; (8)已知二次函数f(x)=ax²-bx+c,且f(x)=0的两根为x1,x2都在(0,1)内,求证:f(0)·f(1)≤a²/16 证明:因为f(x)=0的两根为x1,x2,故:可设f(x)=a(x-x1)(x-x2),因为0<x1<1, 0<x2<1 故:f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a²·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a²·[(x1+1-x1)/2] ² ·[(x2+1-x2)] ²= a²/16 (9)已知a,b>0,a+b=1,求证:√(a+1/2)+√(b+1/2)≤ 2证明:√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2 同理:√(b+1/2)≤3/4+b/2 故:√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2 (10)a,b,c>0,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小 解: 故:a²-ab+b²≥ab 不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变。 可得:a³+b³≥a²b+b²a(1) 同理可得:b³+c³≥b²c+c²b(2) c³+a³≥c²a+a²c(3) (1)+(2)+(3)得: 2(a³+b³+c³)≥2(a²b+b²c+c²a) a³+b³+c³≥a²b+b²c+c²a (11)设a、b、c都是正数,求证1/2a+1/2b+1/2c≥1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)证明:因为(a-b)²≥0 故:a²-2ab+b²≥0 故:a²+2ab+b²≥4ab 故:(a+b)²≥4ab[两边同时除以4ab/(a+b)] 故:(a+b)/4ab≥1/(a+b) 故:1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b) 同理:1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c); 故:1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) 故:1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) (12)均值代换:已知a+b=1,a,b∈R,求证:(a+2)²+(b+2)²≥25/2 解; 故:(a+2)²+(b+2)²=2t²+25/2≥25/ 2(13)已知:x, y>0, 2x+y=1,求证:1/x+1/y≥3+2√2 证明:设2x=m/(m+n),y=n/(m+n)(m, n>0) 故:1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2 (二)利用判别式“△=b²-4ac”及一元二次方程 1、若x²+xy+y²=1,且x,y为实数,则x²+y²的取值范围? 解:令t=x²+y²>0 故: 故:y=±√(t-x²) 故:t±x√(t-x²)= 1故:x²(t-x²)=(1-t)² 故:x^4-tx²+(1-t)²=0 故:△=t²-4(1-t)²≥0 故:2/3≤t≤ 2即:2/3≤x²+y²≤22、设a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值 解:ab≤[(a+b)/2] ²,故:[(a+b)/2] ²-(a+b)-1≥0 故:a+b≥2√2+2 [其中a+b≥-2√2+2舍去] 故:a+b的最小值是2√2+2,此时a=b=√2+ 1因为ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+ 33、设a+b+c=1, a²+b²+c²=1且a>b>c,求证:-1/3<c<0 证明:因为a+b+c=1,故:(a+b+c)²=1,即:a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 因为a²+b²+c²=1,故:ab+ac+bc=0,故:a、b、c中至少一个负数 因为a>b>c,故:c<0 因为a+b+c=1,ab+ac+bc=0 故:a+b=1-c,ab=c(1-c) 故:a、b可以看作方程x²+(c-1)x+c(1-c)=0两个不相等的实数根 故:△=(c-1)²-4c(c-1)>0 故:(c-1)(c-1-4c)>0 故:-1/3<c< 1故:-1/3<c<04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值 解:设X+Y=t,因为X>0,Y>0 故:t>0 因为XY-X-Y= 1故:XY=1+t 故:X、Y可以看作方程z²-tz+(1+t)=0的两个实数根 故:△=t²-4(1+t)≥0 故:t²-4t-4≥0 (t-2)²≥8 故:t≥2√2+2,或t≤-2√2+2(因为t>0) 故:t≥2√2+ 2故:X+Y的最小值是2√2+2,此时X=Y=√2+ 15、.已知正数ab满足a+b=1,求ab+1/ab的最小值 解: ∴ab+1/ab≥ 2令ab+1/ab=t≥2 故:ab=[t±√(t²-4)]/2 故:a、b可以看作方程x-x+[t±√(t²-4)]/2=0的两根 故:△=1-4×[t±√(t²-4)]/2≥0 故:±√(t²-4)≥t-1/ 2因为t-1/2>0 故:√(t²-4)≥t-1/2>0 故:t≥17/ 4故:ab+1/ab的最小值是17/4,此时a=b=1/2 (三)利用几何意义求极值 1、求下面函数的极小值:y=√(x²+4)+√[(12-x)²+9] 解:√(x²+4)+√[(12-x)²+9]可以看作点(x,0)到点(0,2)和(12,3)的距离之和 而点(0,2)关于x轴的对称点是(0,-2) 故:最小值就是(0,-2)和(12,3)之间的距离,即:132、a,b,c分别为直角三角形的三边,c为斜边,若(m,n)在直线ax+by+2c=0上,求m²+n²的最小值 解:因为a,b,c分别为直角三角形的三边,c为斜边 故:a²+b²=c² 因为√(m²+n²)=√[(m-0)²+(n-0)²],即:√(m²+n²)表示点(m,n)到原点距离,因为(m,n)在直线ax+by+2c=0上 而原点到直线的距离是∣a×0+b×0+2c∣/√(a²+b²)=2c/c=2 故:m²+n²的最小值是2²=4,此时n=-2b/c,m=-2a/c
当0
验证B,去)或a=4,故a=4时体积最大,此时h=
验证D,令h(x)=22高三理数复习 第2篇
当xx11
(2)若x∈(1,2],则f′(x)>0,1
当
当a<2π时,T′(a)<0,所以当a=π时,333高三理数复习 第3篇
若不存在,请说明理由.
如果不存在,说明理由.
(2)求抛物线的解析式;
若不存在,说明理由;
抛物线的解析式为
若不存在,说明理由;
如果不存在,请说明理由;高三理数复习 第4篇
x<0或x>4时g(x)<0,0
x≥0时,f(x)=(a-3)x+4a中a-3<0,且f(0)=(a-3)×0+4a≤a,11
单调递减区间为(0,2),(2,4).高三理数复习 第5篇
当a>0,b>0时,a+b ≥2√ab 附:
完全的均值不等式:√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)(二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均)
注意“1”的添加;
注意拆项补项;
可以先假设成立,然后逆推,看逆推出的式子是否成立;
注意代换。
x,y a,b都是正数且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。
b/√c+√c≥2√b;
c/√a+√a≥2√c 故:a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c
当a>0,b>0时,a+b ≥2√ab
完全的均值不等式:√[(a²+ b²)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
注意“1”的添加;
注意拆项补项;
可以先假设成立,然后逆推,看逆推出的式子是否成立;
注意代换。
a²+b²≥2ab
1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)
∵a+b=1,设a=1/2+t,b=1/2-t
y²=t-x²
∵正数ab